分析 (1)以CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,利用向量法能求出λ的值.
(2)求出平面CDB1的法向量和面CDB1的一个法向量,利用向量法能求出二面角D-CB1-B的余弦值.
解答 解:(1)由AC=3,BC=4,AB=5,得∠ACB=90°…(1分)
以CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),
设D(x,y,z),则由$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AB}$,得$\overrightarrow{CD}=(3-3λ,4λ,0)$,
而$\overrightarrow{A{C_1}}=(-3,0,4)$,
根据$\frac{{9\sqrt{10}}}{50}=|\frac{-9+9λ}{{5\sqrt{25{λ^2}-18λ+9}}}|$,解得,$λ=\frac{1}{5}$或$λ=-\frac{1}{3}$.…(5分)
(2)$\overrightarrow{CD}=(\frac{3}{2},2,0),\overrightarrow{C{B_1}}=(0,4,4)$,
设平面CDB1的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{CD}=\frac{3}{2}x+2y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=4y+4z=0}\end{array}\right.$,取x=4,得面CDB1的一个法向量为$\overrightarrow{n_1}=(4,-3,3)$,…(7分)
而平面CBB1的一个法向量为$\overrightarrow{n_2}=(1,0,0)$,
并且$<\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}>$与二面角D-CB1-B相等,
所以二面角D-CB1-B的余弦值为$cosθ=cos<\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}>=\frac{2}{17}\sqrt{34}$. …(10分)
(第(1)题中少一解扣(1分);没有交代建立直角坐标系过程扣(1分).第(2)题如果结果相差符号扣(1分).)
点评 本题考查满足异面直线所成余弦值的实数值的求法,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | C. | 1 | D. | $\sqrt{2}$ |
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A. | 点Q在圆M内 | B. | 点Q在圆M上 | ||
C. | 点Q在圆M外 | D. | 以上结论都有可能 |
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A. | 4 | B. | 3 | C. | 2 | D. | 1 |
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A. | 直线AC必与平面BEF相交 | |
B. | 直线BF与直线CD恒成$\frac{π}{4}$角 | |
C. | 直线BF与平面ABCD所成角的范围是[$\frac{π}{12}$,$\frac{π}{2}$] | |
D. | 平面BEF与平面ABCD所成的二面角必不小于$\frac{π}{3}$ |
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