Question

已知{a_n}是等比数列，但不是等差数列
（1）若a₂=-2，a₆=-8，求a₄
（2）若a₁=1，a₂，a₆，a₈成等差，求a₃．

Answer 1

分析：（1）由等比中项的概念可求出a42，确定a₄的符号后得到a₄；
（2）设出等比数列的公比，由a₂，a₆，a₈成等差列式求得q，然后运用通项公式求得a₃．

解答：解：（1）因为{a_n}是等比数列，所以a42=a2•a6=(-2)×(-8)=16，
又a₂，a₄，a₆同号，所以a₄=-4；
（2）设等比数列的公比为q，由a₂，a₆，a₈成等差数列，
所以2a1q5=a1q+a1q7，则2q⁵=q+q⁷，
所以（q+1）（q-1）（q⁴-q²-1）=0，
因为{a_n}不是等差数列，所以q=-1，此时a3=1×(-1)2=1，
或q⁴-q²-1=0，得q2=

1+ 5

2

，此时a3=1×

1+ 5

2

=

1+ 5

2

．
综上，a₃=1或a3=

1+ 5

2

．

点评：本题是一个等比中项同一元二次方程结合的题目，对等比中项的考查是数列题目中最常出现的，在解题过程中易出错，在题目没有特殊限制的情况下等比中项有两个值，同学们容易忽略，此题是中低档题．