Question

已知点集L={(x，y)|y=

m

•

n

}，其中

m

=(2x-b，1)，

n

=(1，b+1)，点列P_n（a_n，b_n）在L中，P₁为L与y轴的交点，等差数列{a_n}的公差为1，（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若cn=

5

n•|P1Pn|

，(n≥2)，求

lim

n→∞

(c2+c3+…+cn)
（3）若f(n)=

an，n=2k-1 bn，n=2k

(k∈N*)，是否存在k∈N^*，使得f（k+11）=2f（k），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据所给的向量的坐标，做出向量的数量积，根据点的坐标，得到数列的首项，根据公差做出通项，根据点列P_n（a_n，b_n）在L中，得到b_n=2a_n+1=2n-1
（2）根据所给的点P_n（a_n，b_n）的坐标为（n-1，2n-1），表示出数列的通项，并且整理变化利用裂项法做出数列的请n项和，求出和的极限．
（3）需要针对于k的奇偶性进行讨论，当k是偶数时，k+11为奇数，代入适合的分段函数得k=4； 当k为奇数时，k+11为偶数，代入符合的分段函数得到方程无解．

解答：解：（1）y=

m

•

n

=(2x-b，1)•(1，b+1)=2x+1
∴L={（x，y）|y=2x+1}，则P₁点的坐标是（0，1）
∴a₁=0
又∵等差数列{a_n}的公差为1，
∴a_n=n-1，（2分）
∴点列P_n（a_n，b_n）在L中，
∴b_n=2a_n+1=2n-1（4分）
（2）当n≥2时，点P_n（a_n，b_n）的坐标为（n-1，2n-1），
∴

P1Pn

=(n-1，2n-2)
|

P1Pn

|=

5

(n-1)     cn=

5

n•| P1Pn |

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，（6分）
所以

lim

n→∞

(c2+c3+…+cn)=

lim

n→∞

(1-

1

n

)=1（8分）
（3）假设存在满足条件的k，则
1°当k是偶数时，k+11为奇数，则f（k+11）=k+10，f（k）=2k-1，由f（k+10）=2f（k），得k=4； （10分）
2°当k为奇数时，k+11为偶数，则f（k+11）=2k+21，f（k）=k-1，由f（k+11）=2f（k），方程无解．
综上得到存在k=4符合题意．（12分）

点评：本题考查数列的求和，数列的极限，是一个综合题目，本题解题的关键是求出数列的通项，本题是一个易错题，第三问容易忽略对于n的奇偶性不同，所得的结果不同．