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【题目】已知定义在上的函数和数列满足下列条件:,当时,,其中均为非零常数.

1)数列是等差数列,求的值;

2)令,若,求数列的通项公式;

3)证明:数列是等比数列的充要条件是.

【答案】1123)证明见解析

【解析】

1)由题意知,得,再由等差数列,即可求解值;

2)由,可得,因此,由此可知,数列是一个公比为的等比数列.

3)先进行充分性证明:若数列是等比数列;再进行必要性证明:若数列是等比数列,则.

(1)由已知

由数列是等差数列,得

所以,

.

2)由,可得

且当时,

所以,当时,

因此,数列是一个公比为的等比数列.

故通项公式为

3是等比数列的充要条件是

充分性证明:,则由已知

,所以,是等比数列.

必要性证明:是等比数列,由(2)知,

.

时,.上式对也成立,

所以,数列的通项公式为:.

所以,当时,数列是以为首项,为公差的等差数列.

所以,.

时,.上式对也成立,

所以,.

所以,.

,等式对于任意实数均成立.

所以.

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(1)的值;

(2)已知这名农民工中月工资高于平均数的技术工有名,非技术工有.

①完成如下所示列联表

技术工

非技术工

总计

月工资不高于平均数

月工资高于平均数

总计

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