【题目】已知定义在上的函数和数列满足下列条件:,当且时,且,其中均为非零常数.
(1)数列是等差数列,求的值;
(2)令,若,求数列的通项公式;
(3)证明:数列是等比数列的充要条件是.
【答案】(1)1(2)(3)证明见解析
【解析】
(1)由题意知,,得,再由等差数列,即可求解值;
(2)由,可得,因此,由此可知,数列是一个公比为的等比数列.
(3)先进行充分性证明:若则数列是等比数列;再进行必要性证明:若数列是等比数列,则.
(1)由已知,,
得,
由数列是等差数列,得,
所以,,,
得.
(2)由,可得,
且当时,
,
所以,当时,,
因此,数列是一个公比为的等比数列.
故通项公式为
(3)是等比数列的充要条件是,
充分性证明:若,则由已知,
得,所以,是等比数列.
必要性证明:若是等比数列,由(2)知,,
,
.
当时,.上式对也成立,
所以,数列的通项公式为:.
所以,当时,数列是以为首项,为公差的等差数列.
所以,.
当时,.上式对也成立,
所以,.
所以,.
即,等式对于任意实数均成立.
所以.
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【题目】已知函数其中为实数.设,为该函数图象上的两个不同的点.
(1)指出函数的单调区间;
(2)若函数的图象在点,处的切线互相平行,求的最小值;
(3)若函数的图象在点,处的切线重合,求的取值范围.(只要求写出答案).
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【题目】已知三棱锥的棱长均为6,其内有个小球,球与三棱锥的四个面都相切,球与三棱锥的三个面和球都相切,如此类推,…,球与三棱锥的三个面和球都相切(,且),则球的体积等于__________,球的表面积等于__________.
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【题目】如图,平面平面,四边形和都是边长为2的正方形,点,分别是,的中点,二面角的大小为60°.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
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【题目】为更好地落实农民工工资保证金制度,南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市名农民工(其中技术工、非技术工各名)的月工资,得到这名农民工的月工资均在(百元)内,且月工资收入在(百元)内的人数为,并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:
(1)求的值;
(2)已知这名农民工中月工资高于平均数的技术工有名,非技术工有名.
①完成如下所示列联表
技术工 | 非技术工 | 总计 | |
月工资不高于平均数 | |||
月工资高于平均数 | |||
总计 |
②则能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系?
参考公式及数据:,其中.
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【题目】已知椭圆()的离心率为,过椭圆的左焦点和上顶点的直线与圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线与椭圆交于、两点,点与原点关于直线对称,试求四边形的面积的最大值.
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