Question

已知直线4x+3y-12=0截圆心在点C（1，1）的圆C所得弦长为2

3

．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点（-1，2）的圆C的切线方程．

Answer 1

分析：（1）设圆C的半径为R，求得圆心到直线4x+3y-12=0的距离为d=

|4+3-12|

16+9

=1，再利用弦长公式求得半径R，从而求得圆C的方程．
（2）分所求切线斜率不存在和切线的斜率存在两种情况，根据圆心到切线的距离等于半径，分别求得圆C的切线方程．

解答：解：（1）设圆C的半径为R，圆心到直线4x+3y-12=0的距离为d，则有 d=

|4+3-12|

16+9

=1，R=

d2+( 2 3 2 )2

=2，
故圆C的方程为：（x-1）²+（y-1）²=4．…（3分）
（2）当所求切线斜率不存在时，即 x=-1，满足圆心到直线的距离为2，
故x=-1为所求的圆C的切线．…（4分）
当切线的斜率存在时，可设方程为：y-2=k（x+1）即kx-y+k+2=0，则 d=

|k-1+k+2|

k2+(-1)2

．
解得k=

3

4

，故切线为：

3

4

x-y+

3

4

+2=0，整理得：3x-4y+11=0．
所以所求圆的切线为：x=-1 与3x-4y+11=0．…（6分）

点评：本题主要考查利用待定系数法求圆的方程，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．