Question

（2009•卢湾区二模）设数列{a_n}的前n项之和为S_n，若Sn=

1

12

(an+3)2（n∈N^*），则{a_n}（　　）

A．是等差数列，但不是等比数列

B．是等比数列，但不是等差数列

C．是等差数列，或是等比数列

D．可以既不是等比数列，也不是等差数列

Answer 1

分析：a1=S1=

1

12

(a1+3)  2，a₁=3．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

12

(an+3)2-

1

12

(an-1+3)2，所以12a_n=（a_n²+6a_n+9）-（a_n-1+3）²，整理得（a_n-3）²-（a_n-1+3）²=0，解得a_n+a_n-1=0，或a_n-a_n-1-6=0，当a_n+a_n-1=0时，

an

an-1

=-1，数列{a_n}是以a₁=3，公比为-1的等比数列．当a_n-a_n-1-6=0时，a_n-a_n-1=6，数列{a_n}是以a₁=3，公差为6的等差数列．

解答：解：a1=S1=

1

12

(a1+3)  2，
∴a₁=3．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

12

(an+3)2-

1

12

(an-1+3)2，
∴12a_n=（a_n²+6a_n+9）-（a_n-1+3）²，
∴（a_n-3）²-（a_n-1+3）²=0，
∴[（a_n-3）+（a_n-1+3）][（a_n-3）-（a_n-1+3）]=0，
∴a_n+a_n-1=0，或a_n-a_n-1-6=0，
当a_n+a_n-1=0时，

an

an-1

=-1，数列{a_n}是以a₁=3，公比为-1的等比数列．
当a_n-a_n-1-6=0时，a_n-a_n-1=6，数列{a_n}是以a₁=3，公差为6的等差数列．
故选D．

点评：本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用数列递推式，合理地进行等价转化．