Question

若数列{x_n}对任意的n∈N^*，都有x_n-2x_n+1+x_n+2＜0成立，则称数列{x_n}为“亚等差数列”，设数列{a_n}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为S_n，且a₁=1，S₁+S₂+S₃=

17

4

．
（1）求证：数列{S_n}是“亚等差数列”；
（2）设b_n=（1-na_n）t+n²a_n，若数列b₃，b₄，b₅…，b_m是“亚等差数列”，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：数列的应用,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得1+(1+q)+(1+q+q2)=

17

4

，解得q=-

5

2

（舍）或q=

1

2

，从而S_n=2-

1

2n-1

，由此能证明数列{S_n}是“亚等差数列”．
（2）由an=(

1

2

)n-1，得b_n=（1-na_n）t+n²a_n=（1-

n

2n-1

）t+

n2

2n-1

，再由数列b₃，b₄，b₅…，b_m是“亚等差数列”，能求出实数t的取值范围．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为S_n，
且a₁=1，S₁+S₂+S₃=

17

4

，
∴1+(1+q)+(1+q+q2)=

17

4

，
解得q=-

5

2

（舍）或q=

1

2

，
∴S_n=

1- 1 2n

1- 1 2

=2-

1

2n-1

，
∴S_n-2S_n+1+S_n+2=（2-

1

2n-1

）-2×（2-

1

2n

）+（2-

1

2n+1

）
=

1

2n

-

1

2n-1

-

1

2n+1

=

1-2- 1 2

2n

＜0，
∴数列{S_n}是“亚等差数列”．
（2）解：由（1）得an=(

1

2

)n-1，
∴b_n=（1-na_n）t+n²a_n=（1-

n

2n-1

）t+

n2

2n-1

，
∵数列b₃，b₄，b₅…，b_m是“亚等差数列”，
∴b₃-2b₄+b₅＜0，
即（

1

4

t+

9

4

）-2（

1

2

t+2）+（

11

16

t+

25

16

）＜0，
-

t

16

-

3

16

＜0，解得t＞-3．
又b₄-2b₅+b₆＜0，
即（

1

2

t+2）-2（

11

16

t+

25

16

）+（

13

16

t+

9

8

）＜0，
-

1

16

t＜0，解得t＞0．
∴实数t的取值范围是（0，+∞）．

点评：本题考查亚等差数列的证明，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用．