Question

【题目】设函数f（x）的解析式满足 ．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当a=1时，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明；
（3）当a=1时，记函数 ，求函数g（x）在区间 上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：设x+1=t（t≠0），则x=t﹣1，

∴

∴

（2）解：当a=1时，

f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

证明：设0＜x1＜x2＜1，则

∵0＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2﹣1＜0，

∴ ，∴f（x1）﹣f（x2）＞0f（x1）＞f（x2）

所以，f（x）在（0，1）上单调递减，

同理可证得f（x）在（1，+∞）上单调递增

（3）解：∵ ，

∴g（x）为偶函数，

所以，∴y=g（x）的图象关于y轴对称，

又当 时，由（2）知 在 单调减，[1，2]单调增，

∴

∴当a=1时，函数g（x）在区间 上的值域的为

【解析】（1）根据整体思想x+1=t（t≠0），则x=t﹣1，代入即可得到答案；（2）先把解析式化简后判断出单调性，再利用定义法证明：在区间上取值﹣作差﹣变形﹣判断符号﹣下结论，因解析式由分式，故变形时必须用通分．（3）根据题意判断出函数g（x）的奇偶性，根据（2）中函数的单调性，即可求出函数g（x）在区间 上的值域．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的值域和函数单调性的判断方法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．