Question

半径为R的球O的截面BCD把球面面积分为两部分，截面圆O₁的面积为12π，2OO₁=R，BC是截面圆O₁的直径，D是圆O₁上不同于B，C的一点，CA是球O的一条直径．
（1）求证：平面ADC⊥平面ABD；
（2）求三棱锥A-BCD的体积最大值；
（3）当D分的两部分的比：=1：2时，求D点到平面ABC的距离．

Answer 1

（1）证明：连OO₁，则OO₁⊥面BDC，△ABC中，OO₁∥AB，∴AB⊥面BCD．

∵CD在面BCD内，∴AB⊥DC
又由题意知BD⊥DC且AB∩BD=B，∴CD⊥面ABD
∵CD?面ACD，
∴平面ADC⊥平面ABD；
（2）解：∵R=2OO₁，S_圆O1=12π，∴O₁C=2．
在△O₁OC中，OO₁²+O₁C²=R²，∴R=4，OO₁=2
∵AB=2OO₁，∴AB=4
∵AB⊥面BDC，∴要使V_A-BCD取最大，则需S_△BCD取最大．
S_△BCD=BD•CD≤==12（当且仅当BD=CD时取“=”）
∴（S_△BCD）_max=12．
∴三棱锥A-BCD的体积最大值=16；
（3）解：由（1）可知AB⊥面BCD．
又∵AB?面ABC，∴面ABC⊥面BCD，
∵面ABC∩面BCD=BC，在平面BDC中，作DE⊥BC于E，则DE⊥面ABC，
又由题设当弧BD：弧DC=1：2时，可知∠BO₁D=60°，∠DO₁C=120°，
∴BD=2，CD=6．
在Rt△BDC中，由BD•CD=BC•DE，可得=，
故D点到平面ABC的距离为．
分析：（1）连OO₁，则OO₁⊥面BDC，利用OO₁∥AB，可得AB⊥面BCD，进而可证明CD⊥面ABD，即可证得平面ADC⊥平面ABD；
（2）AB⊥面BDC，要使V_A-BCD取最大，则需S_△BCD取最大；
（3）先证明面ABC⊥面BCD，在平面BDC中，作DE⊥BC于E，则DE⊥面ABC，由此可求D点到平面ABC的距离．
点评：本题考查面面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查点到面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．