【题目】如图,在边长为的菱形中,,现沿对角线把翻折到的位置得到四面体,如图所示.已知.
(1)求证:平面平面;
(2)若是线段上的点,且,求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)取的中点,连接、,推导出、,利用线面垂直的判定定理得出平面,再利用面面垂直的判定定理可证得平面平面;
(2)推导出、、两两垂直,以为坐标原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,计算出向量的坐标,利用空间向量法可求得二面角的余弦值.
(1)在三棱锥中,取的中点,连接、,得到,
四边形是菱形,,,
又,,,,
又,,,
又,,、平面,平面,
又平面,平面平面;
(2),为中点,,、、两两垂直,
以为坐标原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则、、、,
,,
设平面的法向量,
由,即,解得,取,则,
易知平面的一个法向量为,
.
由图可知二面角为锐角,所以,二面角的余弦值为.
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【题目】如图,四边形ABCD是正方形,G是线段AD延长线一点,,平面ABCD,,,F是线段PG的中点;
求证:平面PAC;
若时,求平面PCF与平面PAG所成二面角的余弦值.
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【题目】1642年,帕斯卡发明了一种可以进行十进制加减法的机械计算机年,莱布尼茨改进了帕斯卡的计算机,但莱布尼兹认为十进制的运算在计算机上实现起来过于复杂,随即提出了“二进制”数的概念之后,人们对进位制的效率问题进行了深入的研究研究方法如下:对于正整数,,我们准备张不同的卡片,其中写有数字0,1,…,的卡片各有张如果用这些卡片表示位进制数,通过不同的卡片组合,这些卡片可以表示个不同的整数例如,时,我们可以表示出共个不同的整数假设卡片的总数为一个定值,那么进制的效率最高则意味着张卡片所表示的不同整数的个数最大根据上述研究方法,几进制的效率最高?
A. 二进制 B. 三进制 C. 十进制 D. 十六进制
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【题目】已知函数的最大值为,其图像相邻的两条对称轴之间的距离为,且的图像关于点对称,则下列结论正确的是( ).
A.函数的图像关于直线对称
B.当时,函数的最小值为
C.若,则的值为
D.要得到函数的图像,只需要将的图像向右平移个单位
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【题目】田忌赛马是史记中记载的一个故事,说的是齐国将军田忌经常与齐国众公子赛马,孙膑发也们的马脚力都差不多,都分为上、中、下三等于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略:比赛即将开始时,他让田忌用下等马对战公子们的上等马,用上等马对战公子们的中等马,用中等马对战公子们的下等马,从而使田忌赢得公子们许多赌注假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示:
田忌的马获胜概率公子的马 | 上等马 | 中等马 | 下等马 |
上等马 | 1 | ||
中等马 | |||
下等马 | 0 |
比赛规则规定:一次比由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马出骞,结果只有胜和负两种,并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同,三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者.
如果按孙膑的策略比赛一次,求田忌获胜的概率;
如果比赛约定,只能同等级马对战,每次比赛赌注1000金,即胜利者赢得对方1000金,每月比赛一次,求田忌一年赛马获利的数学期望.
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【题目】甲乙两人各有三张卡片,甲的卡片分别标有数字1、2、3,乙的卡片分别标有数字0、1、3.两人各自随机抽出一张,甲抽出的卡片上的数字记为,乙抽出的卡片上的数字记为,则与的积为奇数的概率为________.
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【题目】如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动,点恰好经过原点.设顶点的轨迹方程是,则对函数有下列判断:①函数是偶函数;②对任意的,都有;③函数在区间上单调递减;④函数的值域是;⑤.其中判断正确的序号是__________.
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