Question

某市2009年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长5%．另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．以2009年为第一年，那么，到哪一年底，
（Ⅰ）该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米？
（Ⅱ）所有建造的中低价房的面积占建造总住房面积的比例首次大于75%？
（附：可参考数据：1.05²=1.103，1.05³=1.158，1.05⁴=1.216，1.05⁵=1.276；1.05⁶=1.340）

Answer 1

分析：（Ⅰ）设中低价房面积形成数列{a_n}，由题意可知{a_n}是等差数列，求得首项和公差，利用等差数列的求和公式求得S_n，进而根据S_n≥4750，求得n的最小值．
（Ⅱ）设新建住房面积形成数列{b_n}，由题意可知{b_n}是等比数列，根据题意可求得数列的首项和公比，则数列的通项公式可得，求出其前n项和T_n进而T_n＞0.75S_n，求得n的最小正整数．

解答：解：（Ⅰ）设中低价房面积形成数列a_n，由题意可知a_n是等差数列，
其中a₁=250，d=50，则Sn=250n+

1

2

n(n-1)×50=25n2+225n，（2分）
令25n²+225n≥4750，即n²+9n-190≥0，而n是正整数，∴n≥10．（4分）
到2018年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．（5分）
（Ⅱ）第n年所建造的中低价房面积为a_n，新建住房面积为b_n，n内新建住房总面积为S_n，
中低价住房总面积为T_n，则a_n=50n+200，b_n=400×1.05^n-1，（6分）
所以S_n=400+400×1.05+400×1.05²+…+400×1.05^n-1=8000（1.05ⁿ-1）（7分）
T_n=250+300+350+…+50n+200=25n²+225n，（9分）
依题意：T_n＞0.75S_n，∴8000（1.05ⁿ-1）×0.75＜25n²+225n（10分）n
=1，2，3时，T_n＜0.75S_n，n=4时，T_n＞0.75S_n（12分）
到2012年底所有建造的中低价房的面积占建造总住房面积的比例首次大于75%（13分）

点评：本题主要考查了数列的应用．解题的关键是利用题设条件判断出数列的类型，根据等差或等比数列的性质来解决．