Question

已知等差数列{a_n}满足：a_n＋1>a_n(n∈N^*)，a₁＝1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b_n}的前三项．
(1)分别求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
(2)设T_n＝(n∈N^*)，若T_n＋<c(c∈Z)恒成立，求c的最小值．

Answer 1

（1）2ⁿ（2）c＝3

(1)设d、q分别为等差数列{a_n}、等比数列{b_n}的公差与公比，且d>0.
由a₁＝1，a₂＝1＋d，a₃＝1＋2d，分别加上1，1，3有b₁＝2，b₂＝2＋d，b₃＝4＋2d.
(2＋d)²＝2(4＋2d)，d²＝4.∵d>0，∴d＝2，q＝＝2，
∴a_n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，b_n＝2×2^n－1＝2ⁿ.
(2)T_n＝＝，①
T_n＝.②
①－②，得T_n＝＋，
∴T_n＝1＋＝3－.
∴T_n＋－＝3－<3.
∵3－在N^*上是单调递增的，∴3－∈[2，3)．
∴满足条件T_n＋－<c(c∈Z)恒成立的最小整数值为c＝3