精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
过曲线y=x2上一点Q0(1,1)作曲线的切线,交x轴于点P1;过P1作垂直于x轴的直线交曲线于Q1,过Q1作曲线的切线交x轴于P2;过P2作垂直于x轴的直线交曲线于Q2;如此继续下去得到点列:P1,P2,P3,…,Pn,…,设Pn的横坐标为xn
(Ⅰ)求x1
(Ⅱ)求xn(用只含有字母n的代数式表示).
(Ⅲ)令an=
nxn
,求数列{an}的前n项的和Sn
分析:(Ⅰ)求导函数,求得曲线在点Q0处的切线方程,令y=0,可求x1
(Ⅱ)曲线在点Qn-1(xn-1
x
2
n-1
)
处的切线方程为y-
x
2
n-1
=2xn-1(x-xn-1)
,令y=0,得x=
1
2
xn-1
,即xn=
1
2
xn-1
,从而可得{xn}是以x1=
1
2
为首项,
1
2
为公比的等比数列,由此可求xn
(Ⅲ)由(Ⅱ)得an=
n
xn
=n•2n
,所以Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,利用错位相减法可求数列{an}的前n项的和Sn
解答:解:(Ⅰ)因为y'=2x,所以曲线在点Q0处的切线方程为y-1=2(x-1).
令y=0,得x=
1
2
,即x1=
1
2

(Ⅱ)曲线在点Qn-1(xn-1
x
2
n-1
)
处的切线方程为y-
x
2
n-1
=2xn-1(x-xn-1)

令y=0,得x=
1
2
xn-1
,即xn=
1
2
xn-1

所以{xn}是以x1=
1
2
为首项,
1
2
为公比的等比数列.
所以xn=
1
2
×(
1
2
)n-1=
1
2n

(Ⅲ)由(Ⅱ)得an=
n
xn
=n•2n

Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n
2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1
由①-②得,-Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=
2(1-2n)
1-2
-n•2n+1=(1-n)•2n+1-2

Sn=(n-1)•2n+1+2
点评:本题考查导数的几何意义,考查等比数列的判定,考查等比数列的通项,考查错位相减法求数列的和,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

过曲线y=x2-2x+3上一点P作曲线的切线,若切点P的横坐标的取值范围是[
1
2
3
2
]
,则切线的倾斜角的取值范围是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

曲边梯形由曲线y=x2+1,y=0,x=1,x=2所围成,过曲线y=x2+1,x∈[1,2]上一点P作切线,使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形,则这一点的坐标为
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

过曲线y=x2上一点Q0(1,1)作曲线的切线,交x轴于点P1;过P1作垂直于x轴的直线交曲线于Q1,过Q1作曲线的切线交x轴于P2;过P2作垂直于x轴的直线交曲线于Q2;如此继续下去得到点列:P1,P2,P3,…,Pn,…,设Pn的横坐标为xn
(Ⅰ)求x1
(Ⅱ)求xn(用只含有字母n的代数式表示).
(Ⅲ)令数学公式,求数列{an}的前n项的和Sn

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012年贵州师大附中高三检测考试数学试卷 (文科)(解析版) 题型:解答题

过曲线y=x2上一点Q(1,1)作曲线的切线,交x轴于点P1;过P1作垂直于x轴的直线交曲线于Q1,过Q1作曲线的切线交x轴于P2;过P2作垂直于x轴的直线交曲线于Q2;如此继续下去得到点列:P1,P2,P3,…,Pn,…,设Pn的横坐标为xn
(Ⅰ)求x1
(Ⅱ)求xn(用只含有字母n的代数式表示).
(Ⅲ)令,求数列{an}的前n项的和Sn

查看答案和解析>>

同步练习册答案