分析 根据条件可以得到c•cosA=sinC,这样根据正弦定理便可得到$\frac{1}{sinA}=\frac{1}{cosA}$,从而得到A=$\frac{π}{4}$,c=$\sqrt{2}sinC$,根据余弦定理可以求出AD的范围.
解答 解:根据条件,-cosBsinA=sinBcosA-ccosA;
∴c•cosA=sinBcosA+cosBsinA;
即c•cosA=sin(A+B)=sinC;
∴$\frac{c}{sinC}=\frac{1}{cosA}$;
有$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$,a=1;
∴$\frac{1}{sinA}=\frac{1}{cosA}$;
∴sinA=cosA;
∴$A=\frac{π}{4}$;
∴$c=\sqrt{2}sinC$;
如上图所示,BC=1,延长AD一倍到点E,作CF⊥AB,设∠FCB=α,则CF=AF=cosα,FB=sinα,
∠ACE=$\frac{3π}{4}$,CE=AB=sinα+cosα,AC=$\sqrt{2}$cosα;
∴AE2=AC2+CE2-2AC•CE•cos$\frac{3π}{4}$=1+4cos2α+4sinαcosα=3+2$\sqrt{2}$sin(2α+$\frac{π}{4}$);
所以,当α=$\frac{π}{8}$时,AE2最大,为3+2$\sqrt{2}$;
此时,AE最大,为1+$\sqrt{2}$,AD=$\frac{1}{2}$AE最大值为$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$.
点评 考查两角和的正余弦公式,三角形的内角和为π,三角函数的诱导公式,以及正弦定理,直角三角形边的关系.
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | k≥1 | B. | k≥$\frac{3}{4}$ | C. | k≤1 | D. | k≤$\frac{3}{4}$ |
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A. | (0,$\frac{1}{2}$) | B. | ($\frac{1}{2},1$) | C. | (-1,$\frac{1}{2}$) | D. | (0,1) |
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