Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB和AA₁的中点，则下列命题：
①E、C、D₁、F四点共面；  ②CE、D₁F、DA三线共点；③EF和BD₁所成的角为90°；④A₁B∥平面CD₁E中，正确的是

 

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Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离,简易逻辑

分析：由三角形中位线的性质得到EF∥A₁B，进一步得到EF∥D₁C判断①；
由三个平面两两相交若有三条交线，交线要么相交于一点，要么互相平行判断②；
由异面直线所成角的概念判断③；由线面平行的判定定理判断④．

解答： 解：对于①，由E，F分别为AB，AA₁的中点，可得EF∥A₁B，又D₁C∥A₁B，∴EF∥D₁C，则E、C、D₁、F四点共面，命题①正确；
对于②，由D₁FEC为平面图形，且D₁F与CE相交，可得CE、D₁F、DA三线共点，命题②正确；
对于③，EF和BD₁所成的角等于∠A₁BD₁，小于90°，命题③错误；
对于④，由EF∥A₁B可得A₁B∥平面CD₁E，命题④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间中的线面关系，训练了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．