Question

某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（x＞6），年销量为u万件，若已知

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-u与(x-

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)2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．
（1）求年销售利润y关于x的函数关系式．
（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．

Answer 1

（1）设

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-u=k(x-

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4

)2，
∵售价为10元时，年销量为28万件；
∴

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-28=k(10-

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)2，解得k=2．
∴u=-2(x-

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4

)2+

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=-2x²+21x+18．
∴y=（-2x²+21x+18）（x-6）=-2x³+33x²-108x-108．
（2）y'=-6x²+66x-108=-6（x²-11x+18）=-6（x-2）（x-9）
令y'=0得x=2（∵x＞6，舍去）或x=9
显然，当x∈（6，9）时，y'＞0当x∈（9，+∞）时，y'＜0
∴函数y=-2x³+33x²-108x-108在（6，9）上是关于x的增函数；
在（9，+∞）上是关于x的减函数．
∴当x=9时，y取最大值，且y_max=135．
∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．