Question

15．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f′（x）-g（x）（f′（x）为函数f（x）的导函数）在[a，b]上有且只有两个不同的零点，则称f（x）是g（x）在[a，b]上的“关联函数”．若f（x）=$\frac{x^3}{3}-\frac{{3{x^2}}}{2}$+4x是g（x）=2x+m在[0，3]上的“关联函数”，则实数m的取值范围是（　　）

• A． $（{-\frac{9}{4}，-2}]$
• B． [-1，0]
• C． （-∞，-2]
• D． $（{-\frac{9}{4}，+∞}）$

Answer 1

分析 先对f（x）求导，由题意可得h（x）=f′（x）-g（x）=x²-5x+4-m 在[0，3]上有两个不同的零点，故有$\left\{\begin{array}{l}{h（0）≥0}\\{h（3）≥0}\\{h（\frac{5}{2}）＜0}\end{array}\right.$，由此求得m的取值范围．

解答 解：f′（x）=x²-3x+4，
∵f（x）与g（x）在[0，3]上是“关联函数”，
故函数y=h（x）=f′（x）-g（x）=x²-5x+4-m在[0，3]上有两个不同的零点，
故有$\left\{\begin{array}{l}{h（0）≥0}\\{h（3）≥0}\\{h（\frac{5}{2}）＜0}\end{array}\right.$，即  $\left\{\begin{array}{l}{4-m≥0}\\{-2-m≥0}\\{\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+4-m＜0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{9}{2}$＜m≤-2，
故选：A．

点评 本题考查导数的求导法则，函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．