Question

12．已知A，B分别为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P是C上一点，且直线AP，BP的斜率之积为2，则C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 利用点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为2，建立等式，考查双曲线的方程，即可确定a，b的关系，从而可求双曲线的离心率．

解答 解：设P（x，y），实轴两顶点坐标为（±a，0），则
∵点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为2，
∴$\frac{y}{x+a}$•$\frac{y}{x-a}$=2，
∴$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{y}^{2}}{{2a}^{2}}$+1，
∵$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴$\frac{{y}^{2}}{{2a}^{2}}$+1-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴b²=2a²，
∴c²=a²+b²=3a²，
∴c=$\sqrt{3}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
故选：B．

点评 本题考查斜率的计算，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．