Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点（1，

3

2

），F₁，F₂分别为椭圆C的左右焦点，且离心率e=

1

2

（1）求椭圆C的方程．
（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F₂与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k₁，k₂满足k1+k2=-

1

2

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由椭圆C过点（1，

3

2

），且离心率e=

1

2

，可得

e= c a = 1 2 1 a2 + 9 4b2 =1 a2=b2+c2

，解出即可；
（2）由（1）可得：左顶点A（-2，0），右焦点（1，0）．由题意可知直线l不存在时不满足条件，可设直线l的方程为y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用斜率计算公式可得k1+k2=-

1

2

，即

y1

x1+2

+

y2

x2+2

=-

1

2

，代入化简整理即可得出．

解答：解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点（1，

3

2

），且离心率e=

1

2

，∴

e= c a = 1 2 1 a2 + 9 4b2 =1 a2=b2+c2

，解得

a=2c=2 b2=3

，∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由（1）可得：左顶点A（-2，0），右焦点（1，0）．
由题意可知直线l不存在时不满足条件，可设直线l的方程为y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，化为（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．由题意可得△＞0．
∴x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

．
∵k1+k2=-

1

2

，∴

y1

x1+2

+

y2

x2+2

=-

1

2

，
化为2k（x₁-1）（x₂+2）+2k（x₂-1）（x₁+2）+（x₁+2）（x₂+2）=0，
整理为（4k+1）x₁x₂+（2k+2）（x₁+x₂）+4-8k=0．
代入得

(4k+1)(4k2-12)

3+4k2

+

8k2(2k+2)

3+4k2

+4-8k=0，
整理为k²-2k=0，解得k=0或2．
k=0不满足题意，应舍去．
故k=2，此时直线l的方程为y=2（x-1），即2x-y-2=0．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率计算公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．