Question

已知奇函数f（x）的定义域是R，且f（x）=f（1-x），当0≤x≤

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时，f（x）=x-x²．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）求f（x）在区间[1，2]上的解析式；
（3）求方程f（x）=log₁₀₀₀₀x的根的个数．

Answer 1

分析：（1）由于函数为定义在R上的奇函数，根据奇函数的性质可得：f（-x）=-f（x），结合f（x）=f（1-x），我们易得函数
f（x）是周期函数；
（2）由当0≤x≤

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时，f（x）=x-x²．根据函数f（x）为奇函数，及f（x）=f（1-x），及（1）中的结论，即可求出求
f（x）在区间[1，2]上的解析式；
（3）根据（1）的结论，根据函数零点的判断方法，结合函数图象即可得到方程f（x）=log₁₀₀₀₀x的根的个数．

解答：解：（1）∵函数为定义在R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x），
又∵f（x）=f（1-x），
∴-f（-x）=f（1-x），
即f（x）=-f（x-1），
则f（x-2）=-f[（x-1）-1]=f（x）
故f（x）为周期函数，且T=2
（2）当

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≤x≤1时，0≤1-x≤

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则f（1-x）=（1-x）-（1-x）²=-x²+x=f（x）
即0≤x≤1时，f（x）=-x²+x
当-1≤x≤0时，0≤-x≤1
则f（-x）=-（-x）²+（-x）=-f（x）
即f（x）=x²+x
当1≤x≤2时，-1≤x-2≤0
f（x-2）=（x-2）²+（x-2）=x²-3x+2=f（x）
即f（x）=x²-3x+2，（1≤x≤2）
（3）由（2）的结论，我们画出函数y=f（x）与y=log₁₀₀₀₀x的图象如下图所示：

由图可知，两个函数的图象共有9个交点，故方程f（x）=log₁₀₀₀₀x共有9个根

点评：本题解析的关键点是根据函数的奇偶性，求函数在对称区间上的解析式，若已知函数的奇偶性，及函数在区间[a，b]上的解析式，求对称区间[-b，-a]上的解析式，一般步骤为：取区间上任意一个数，即x∈[-b，-a]，则-x∈[a，b]，由区间[a，b]上的解析式，写出f（-x）的表达式，根据奇函数f（-x）=-f（x）（偶函数f（-x）=f（x））给出区间[-b，-a]上函数的解析式．