分析 (Ⅰ)由正弦定理化简已知等式得a+b=2c,联立a=2b,可得$b=\frac{2}{3}c$,由余弦定理可求cosA,利用诱导公式可求cos(π-A)的值.
(Ⅱ)由$cosA=-\frac{1}{4}$,得$sinA=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$,利用三角形面积公式可解得c的值.
解答 (本小题满分12分)
解:(Ⅰ)∵sinA+sinB=2sinC,由正弦定理得a+b=2c,(2分)
又a=2b,可得$b=\frac{2}{3}c$,(3分).
∴$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{{\frac{4}{9}{c^2}+{c^2}-\frac{16}{9}{c^2}}}{{2×\frac{2}{3}{c^2}}}=-\frac{1}{4}$,(5分)
∴$cos(π-A)=-cosA=\frac{1}{4}$.(7分)
(Ⅱ)由$cosA=-\frac{1}{4}$,得$sinA=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$,(8分)
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}{c^2}×\frac{{\sqrt{15}}}{4}=\frac{{\sqrt{15}}}{12}{c^2}$,(10分)
∴$\frac{{\sqrt{15}}}{12}{c^2}=\frac{{4\sqrt{15}}}{3}$,解得c=4.(12分)
点评 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式,诱导公式,同角三角函数基本关系式的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{5}{2}$ | B. | 5 | C. | 10 | D. | $\frac{5}{4}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 4 | B. | 3 | C. | $\sqrt{7}$ | D. | 2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | an=3n-2 | B. | an=4n-3 | C. | an=2n-1 | D. | an=2n+1 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1 | B. | $\sqrt{2}$ | C. | 2$\sqrt{2}$ | D. | $\sqrt{3}$ |
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