Question

已知函数f(x)=3sin2x+2

3

sinxcosx+5cos2x，求
（1）函数的周期和最大值；
（2）函数的单调递增区间．

Answer 1

分析：利用二倍角公式，平方关系，两角和的正弦函数，化简函数y=3sin²x+2

3

sinxcosx+5cos²x，为一个角的一个三角函数的形式，然后直接求出最小正周期，最大值，单调增区间．

解答：解：（1）∵f(x)=3sin2x+2

3

sinxcosx+5cos2x=3×

1-cos2x

2

+

3

sin2x+5×

1+cos2x

2

=4+

3

sin2x+cos2x
=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+4=2sin（2x+

π

6

）+4，
∴函数的周期为

2π

2

=π，当 2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z时，函数取得最大值为2+4=6．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得 kπ-

π

3

≤x≤，kπ+

π

6

，k∈Z，
故函数的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．

点评：本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，此类题目的解答，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，属于中档题．