Question

（2009•淮安模拟）如图，在三棱柱BCE-ADF中，四边形ABCD是正方形，DF⊥平面ABCD，M，N分别是AB，AC的中点，G是DF上的一点．
（1）求证：GN⊥AC；
（2）若FG=GD，求证：GA∥平面FMC．

Answer 1

分析：（1）要证GN⊥AC，只要证明AC垂直于平面GDN即可，由DF垂直于底面，底面是正方形即可得到答案；
（2）FG=GD，说明G是FD的中点，又M为AB中点，可联想取DC中点，连结AS，GS后可把证线面平行转化为证面面平行，即证明平面FMC平行于平面GAS即可．

解答：证明：（1）如图，
连接DN，∵四边形ABCD是正方形，∴DN⊥AC
∵DF⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴DF⊥AC
又DN∩DF=D，∴AC⊥平面DNF
∵GN?平面DNF，∴GN⊥AC
（2）取DC中点S，连接AS，GS，GA
∵G是DF的中点，∴GS∥FC，AS∥CM
又GS，AS?平面FMC，FM，CM?平面FMC
∴GS∥平面FMC，AS∥平面FMC
而AS∩GS=S，∴平面GSA∥平面FMC
∵GA?平面GSA，∴GA∥平面FMC．

点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了直线与平面垂直的性质，综合考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．