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    设数列an=n3+λn（n∈N），且满足a1＜a2＜a3＜…＜an＜…，则实数λ的取值范围是
    [-3，+∞）
    [-3，+∞）
    ．
    分析：令f（x）=x3+λx（x≥1）．由题意可知：函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，因此f′（x）=3x2+λ≥0恒成立，等价于λ≥（-3x2）max（x≥1）．利用二次函数的单调性求出最值即可．
    解答：解：令f（x）=x3+λx（x≥1）．由题意可知：函数f（x）在[1，+∞）上单调递增．
    ∴f′（x）=3x2+λ≥0恒成立，即λ≥（-3x2）max（x≥1）．
    ∵当x≥1时，(-3x2)max=-3×12=-3．
    ∴λ≥-3．
    故答案为[-3，+∞）．
    点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、二次函数的单调性、恒成立问题等基础知识与基本方法，熟练掌握问题的等价转化及其方法是解题的关键．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=
    n
    3
    ，n∈N*．
    （1）求数列{an}的通项；
    （2）设bn=
    n
    an
    ，求数列{bn}的前n项和Sn．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于各项均为整数的数列{an}，如果满足ai+i（i=1，2，3，…）为完全平方数，则称数列{an}具有“P性质”；
    不论数列{an}是否具有“P性质”，如果存在与{an}不是同一数列的{bn}，且{bn}同时满足下面两个条件：①b1，b2，b3，…，bn是a1，a2，a3，…，an的一个排列；②数列{bn}具有“P性质”，则称数列{an}具有“变换P性质”．
    （Ⅰ）设数列{an}的前n项和Sn=
    n3
    (n2-1)    ，证明数列{an}具有“P性质”；
    （Ⅱ）试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换P性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列{bn}，不具此性质的说明理由；
    （Ⅲ）对于有限项数列A：1，2，3，…，n，某人已经验证当n∈[12，m2]（m≥5）时，数列A具有“变换P性质”，试证明：当n∈[m2+1，（m+1）2]时，数列A也具有“变换P性质”．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•黄冈模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=
    n(a1+an)
    2
    (n∈N*)    ；数列{bn}满足b1+3b2+32b3+…+3n-1bn=
    n
    3
    (n∈N*)
    （1）求证：数列{an}是等差数列．
    （2）若a1=1，a2=2，求数列{an}和{bn}的通项公式；
    （3）在（2）的条件下，设数列{
    an
    bn
    }    前n项和为Tn，试比较
    4
    3
    Tn    与（2n2+3n-2）•2n-1的大小．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    可以证明，对任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面尝试推广该命题：
    （1）设由三项组成的数列a1，a2，a3每项均非零，且对任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有满足条件的数列；
    （2）设数列{an}每项均非零，且对任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，数列{an}的前n项和为Sn．求证：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
    （3）是否存在满足（2）中条件的无穷数列{an}，使得a2011=2009？若存在，写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）； 若不存在，说明理由．

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