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【题目】已知函数.

(1) 如果,求函数的值域;

(2) 求函数的最大值;

(3) 如果对不等式中的任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.

【答案】(1) ; (2) 最大值为1. (3)

【解析】

(1)令,则可利用二次函数的性质求函数的值域,注意换元后的范围.

(2)去掉绝对值符号后可得,分别求出各自范围上函数值的取值范围可得的最大值.

(3)原不等式等价于上恒成立,换元后利用参变分离可求的取值范围.

解:令

(1) .

因为,所以 ,所以 的值域为

(2)

时,;当时,

所以

时,的最大值为1;当时,.

综上,当时,取到最大值为1.

(3) 由,得.

因为,所以

所以 对一切恒成立.

① 当时,

时,恒成立,即.

因为 ,当且仅当,即时取等号.

所以的最小值为.

综上,.

练习册系列答案
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【题目】已知函数.

(1)若函数上无极值点,试讨论函数的单调性;

(2)证明:当时,对于任意,不等式恒成立.

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【题目】某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:

日期

1月10日

2月10日

3月10日

4月10日

5月10日

6月10日

昼夜温差

x (℃)

10

11

13

12

8

6

就诊人数

y()

22

25

29

26

16

12

该兴趣小组确定的研究方案是:先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程,再用1月和6月的2组数据进行检验.

(1)请根据2、3、4、5月的数据,求出y关于x的线性回归方程

(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?

(参考公式:

参考数据:11×25+13×29+12×26+8×16=1092,112+132+122+82=498.

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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).

(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;

(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,

求直线l的方程.

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【题目】实数对满足不等式组则目标函数当且仅当时取最大值,则的取值范围是( )

A. B. C. D.

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【题目】在直角坐标系xOy中,记函数的图象为曲线C1,函数的图象为曲线C2

(Ⅰ)比较f2)和1的大小,并说明理由;

(Ⅱ)当曲线C1在直线y1的下方时,求x的取值范围;

(Ⅲ)证明:曲线C1C2没有交点.

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【题目】已知函数,在区间上有最大值,有最小值,设

1)求的值;

2)不等式时恒成立,求实数的取值范围;

3)若方程有三个不同的实数解,求实数的取值范围.

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【题目】如图,四棱锥的底面是正方形, ,点E在棱PB上.

(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ)当且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.

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【题目】某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场销售价与上市时间的关系用图(1)的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(2)的抛物线段表示.

1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系式;写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系式

2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿收益最大?(注:市场售价和种植成本的单位:元/kg,时间单位:天.

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