Question

已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．

(1)讨论函数f(x)的单调区间；

(2)若函数g(x)＝且g(x)≤1恒成立，求实数a的取值范围．

 

Answer 1

(1) 当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为(2) a≥－1.

【解析】(1)f′(x)＝－a＝(x>0)，

当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

当a>0时，若f′(x)>0，则0<x< ，若f′(x)<0，则x> ，

故此时f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.

(2)令h(x)＝ax－1(－1≤x≤0)，

当a＝0时，h(x)＝－1，g(x)max＝f(1)＝0≤1，符合题意．

当a<0时，h(x)max＝h(－1)＝－a－1，f(x)max＝f(1)＝－a，

∴g(x)max＝－a≤1，结合a<0，可得－1≤a<0.

当a>0时，h(x)max＝h(0)＝－1.

若≥1，即0<a≤1，f(x)max＝f(1)＝－a≥－1，

∴g(x)max＝－a≤1，结合0<a≤1，可得0<a≤1.

若<1，即a>1，f(x)max＝f ＝ln－1<－1，

∴g(x)max＝－1≤1，符合题意．

综上所述，当g(x)≤1恒成立时，a≥－1.