Question

【题目】已知二次函数f（x）=ax2+2x+c（a≠0），函数f（x）对于任意的都满足条件f（1+x）=f（1﹣x）．
（1）若函数f（x）的图象与y轴交于点（0，2），求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间（0，1）上有零点，求实数c的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）对于任意的都满足条件f（1+x）=f（1﹣x），

∴函数f（x）的对称轴为x=1，

∴﹣ =1，

解得a=﹣1，

∵函数f（x）的图象与y轴交于点（0，2），

∴c=2，

∴f（x）=﹣x2+2x+2

（2）解：∵函数f（x）在区间（0，1）上有零点，

∴f（0）f（1）＜0，

∴c（﹣1+2+c）＜0，

解得﹣1＜c＜0

【解析】（1）函数f（x）对于任意的都满足条件f（1+x）=f（1﹣x），得到函数f（x）的对称轴为x=1，即可求出a的值，再根据函数f（x）的图象与y轴交于点（0，2），求出c的值，问题得以解决．（2）根据函数零点的性质结合二次函数的性质即可得到结论．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质，需要了解当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能得出正确答案．