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已知数列{an}中,a1=2,a2=4,x=
2
是函数f(x)=an-1x3-3[3an-an+1]x+1(n≥2)的一个极值点.
(I)证明:数列{an+1-an}是等比数列;
(II)求数列{an}的通项公式;
(III)设bn=an-1,Sn=
a1
b1b2
+
a2
b2b3
+…+
an
bnbn+1
,求证:
2
3
Sn<1
分析:(I)根据x=
2
是函数f(x)的极值点,利用导数知识得出f(
2
)=0,即a n+1=3an-2a n-1(n≥2)从而构造出
a n+1-a n
a n-a n-1
=2
即可证明{a n+1-an}是等比数列;
(II)由(I)得{a n+1-an}是等比数列是等比数列,首项为2,根据等比数列的通项公式得:a n+1-an=2n   利用数列求得即可求数列{an}的通项公式
(III)由(II)得bn=2n-1结合拆项
an
bnbn+1
=
2n
(2n-1)(2n+1-1)
=
1
2n-1
-
1
2n+1-1
利用拆项法求和Sn,最后结合数列的单调性即可证明
2
3
Sn<1
解答:解:(I)∵x=
2
是函数f(x)的极值点,
∴f(
2
)=0,即a n+1=3an-2a n-1(n≥2)…(2分)
a n+1-a n
a n-a n-1
=2

∴{a n+1-an}是等比数列;
(I){a n+1-an}是等比数列是等比数列,首项为2,∴a n+1-an=2n   …(6分)
∴an=a1+(a2-a1)+…+(an-a n-1)=2+21+…+2 n-1=2n    …(9分)
(III)∵an=2n,∴bn=2n-1∵
an
bnbn+1
=
2n
(2n-1)(2n+1-1)
=
1
2n-1
-
1
2n+1-1
…(11分)
∴Sn=
1
21-1
-
1
22-1
+
1
22-1
-
1
23-1
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1-1

=1-
1
2n+1-1
,n越大,Sn越大,且当n=1时,Sn=
2
3

2
3
Sn<1
…(14分)
点评:本小题主要考查等比数列、数列与不等式的综合、数列求和等基础知识,考查运算求解能力,化归与转化思想.属于基础题.
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相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,a1=1,an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)
,则
lim
n→∞
an
=
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,a1=1,an+1=
an
1+2an
,则{an}的通项公式an=
1
2n-1
1
2n-1

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)

(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{
2n
an
}
的前n项和Tn

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,a1=
1
2
Sn
为数列的前n项和,且Sn
1
an
的一个等比中项为n(n∈N*
),则
lim
n→∞
Sn
=
1
1

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,则数列{an}的通项公式为(  )
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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