分析:(I)根据x=
是函数f(x)的极值点,利用导数知识得出f(
)=0,即a
n+1=3a
n-2a
n-1(n≥2)从而构造出
=2即可证明{a
n+1-a
n}是等比数列;
(II)由(I)得{a
n+1-a
n}是等比数列是等比数列,首项为2,根据等比数列的通项公式得:a
n+1-a
n=2
n 利用数列求得即可求数列{a
n}的通项公式
(III)由(II)得b
n=2
n-1结合拆项
==-利用拆项法求和Sn,最后结合数列的单调性即可证明
≤Sn<1.
解答:解:(I)∵x=
是函数f(x)的极值点,
∴f(
)=0,即a
n+1=3a
n-2a
n-1(n≥2)…(2分)
=2∴{a
n+1-a
n}是等比数列;
(I){a
n+1-a
n}是等比数列是等比数列,首项为2,∴a
n+1-a
n=2
n …(6分)
∴a
n=a
1+(a
2-a
1)+…+(a
n-a
n-1)=2+2
1+…+2
n-1=2
n …(9分)
(III)∵a
n=2
n,∴b
n=2
n-1∵
==-…(11分)
∴Sn=
-+
-+…+
-=1-
,n越大,Sn越大,且当n=1时,Sn=
∴
≤Sn<1…(14分)
点评:本小题主要考查等比数列、数列与不等式的综合、数列求和等基础知识,考查运算求解能力,化归与转化思想.属于基础题.