【题目】袋中装着10个外形完全相同的小球，其中标有数字1的小球有1个，标有数字2的小球有2个，标有数字3的小球有3个，标有数字4的小球有4个.
现从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的8倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用
表示取出的三个小球上的最大数字，求：
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量的分布列；
（3）计算介于20分到40分之间的概率.
【答案】（1）
； （2）分布列见解析； （3）
.
【解析】
（1）由从10个小球中取出3个小球，共有
种不同的取法，分别求得编号分别为
、
、
和
时的不同的取法，利用概率计算公式，即可求解；
（2）求得随机变量
允许的取值分别为，求得相应的概率，即可求得随机变量的分布列；
（3）由题意要使得介于20分到40分之间，则取出的最大数字是3或4，结合对立事件，即可求解.
（1）由题意，从10个小球中取出3个小球，共有
种不同的取法，
若取出的3个小球的编号分别为时，共有
种不同的取法；
若取出的3个小球的编号分别为时，共有
种不同的取法；
若取出的3个小球的编号分别为时，共有
种不同的取法；
若取出的3个小球的编号分别为时，共有
种不同的取法，
所以取出的3个小球上的数字互不相同的概率为
.
（2）由题意，随机变量允许的取值分别为，
则
，
，
，
所以随机变量的分布列为：
| 2 | 3 | 4 |
|
|
|
|
（3）由从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的8倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，要使得介于20分到40分之间，则取出的最大数字是3或4，
其中取出的最大数字为2时，共有
种取法，
记“3次取球时介于20分到40分”为事件A，
所以
.
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【题目】给定整数
(
)，设集合
，记集合
．
（1）若
，求集合
；
（2）若
构成以
为首项，
(
)为公差的等差数列，求证：集合中的元素个数为
；
（3）若构成以
为首项，为公比的等比数列，求集合中元素的个数及所有元素之和．
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【题目】已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为______.
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【题目】近年来，我国工业经济发展迅速，工业增加值连年攀升，某研究机构统计了近十年（从2008年到2017年）的工业增加值（万亿元），如下表：
年份 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
工业增加值 | 13.2 | 13.8 | 16.5 | 19.5 | 20.9 | 22.2 | 23.4 | 23.7 | 24.8 | 28 |
依据表格数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
|
|
|
|
|
5.5 | 20.6 | 82.5 | 211.52 | 129.6 |
（1）根据散点图和表中数据，此研究机构对工业增加值
（万亿元）与年份序号
的回归方程类型进行了拟合实验，研究人员甲采用函数
，其拟合指数
；研究人员乙采用函数
，其拟合指数
；研究人员丙采用线性函数
，请计算其拟合指数，并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好.（注：相关系数
与拟合指数
满足关系
）.
（2）根据（1）的判断结果及统计值，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；
（3）预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关.
附：样本
的相关系数
，
，
，
.
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