Question

在各项均为正数的数列{a_n}中，前n项和S_n满足2S_n+1=a_n（2a_n+1），n∈N^*．
（1）证明{a_n}是等差数列，并求这个数列的通项公式及前n项和的公式；
（2）在平面直角坐标系xoy面上，设点M_n（x_n，y_n）满足a_n=nx_n，S_n=n²y_n，且点M_n在直线l上，M_n中最高点为M_k，若称直线l与x轴．直线x=a，x=b所围成的图形的面积为直线l在区间[a，b]上的面积，试求直线l在区间[x₃，x_k]上的面积；
（3）若存在圆心在直线l上的圆纸片能覆盖住点列M_n中任何一个点，求该圆纸片最小面积．

Answer 1

分析：本题是解析几何、数列、极限多知识点融合一体的综合性题，重点考查数列中a_n和S_n的关系、等差数列的证明、求数列的通项公式、前n项和、直线方程的应用、极限的思想等；
（1）该小题较易，利用a_n=s_n-s_n-1就可以把已知条件转化为关于a_n的递推关系，进而得到{a_n}为等差数列，其通项公式、前n项和易得；
（2）根据题意可得点M_n（

1

2

+

1

2n

，

1

4

+

3

4n

），令x=

1

2

+

1

2n

，y=

1

4

+

3

4n

，消去n得关于x、y的方程，再根据y=

1

4

+

3

4n

是n的减函数可得M₁为M_n中的最高点，且M₁（1，1），又满足条件的图形为直角梯形，从而求得其面积；
（3）根据直线C：3x-2y-1=0上的点列M_n依次为M₁（1，1），M₂（

3

4

，

5

8

），M₃（

2

3

，

1

2

），…，M_n（

1

2

+

1

2n

，

1

4

+

3

4n

），可得其极限点M（

1

2

，

1

4

），从而|M₁M|，最小圆纸片的面积即得．

解答：解：（1）由已知得2S_n=2a_n²+a_n-1①
故2S_n+1=2a_n+1²+a_n+1-1②
②-①得2a_n+1=2a_n+1²-2a_n²+a_n+1-a_n
结合a_n＞0，得a_n+1-a_n=

1

2

∴{a_n}是等差数列
又n=1时，2a₁=a₁²+a₁-1，解得a₁=1或a₁=

1

2

∵a_n＞0，∴a₁=1
又d=

1

2

，故a_n=1+

1

2

（n-1）=

1

2

n+

1

2

∴S_n=n+

1

2

•

n(n-1)

2

=

1

4

n²+

3

4

n；
（2）∵a_n=nx_n，S_n=n²y_n
∴x_n=

an

n

=

1

2

+

1

2n

，y_n=

sn

n2

=

1

4

+

3

4n

即得点M_n（

1

2

+

1

2n

，

1

4

+

3

4n

）
设x=

1

2

+

1

2n

，y=

1

4

+

3

4n

，
消去n，得3x-2y-1=0，
即直线C的方程为3x-2y-1=0
又y=

1

4

+

3

4n

是n的减函数
∴M₁为M_n中的最高点，且M₁（1，1）
又M₃的坐标为（

2

3

，

1

2

）
∴C与x轴．直线x=

2

3

，x=1围成的图形为直角梯形
从而直线C在[

2

3

，1]上的面积为
S=

1

2

×（

1

2

+1）×（1-

2

3

）=

1

4

；（9分）
（3）由于直线C：3x-2y-1=0上的点列M_n依次为
M₁（1，1），M₂（

3

4

，

5

8

），M₃（

2

3

，

1

2

），
M_n（

1

2

+

1

2n

，

1

4

+

3

4n

），
而

lim

n→∞

（

1

2

+

1

2n

）=

1

2

，

lim

n→∞

（

1

4

+

3

4n

）=

1

4

因此，点列M_n沿直线C无限接近于极限点M（

1

2

，

1

4

）
又

1

2

|M₁M|=

1

2

(1- 1 2 )2+(1- 1 4 )2

=

13

8

所以最小圆纸片的面积为

13π

64

．

点评：本题题型大，覆盖面广，应用知识丰富，是一个难度大的题目；要正确的解好本题，不仅具备全面的知识方法，还需要一定的耐力，有时解题的意志力也是决定题目是否解出的重要因素，本题的解答就是一个很好的例证；所以解题过程中，不仅积累知识和方法，还是培养人的耐心的方式，是对人的心理因素的考验．