Question

设函数．
（1） 讨论函数f（x）的单调性；
（2）若x≥0时，恒有f（x）≤ax³，试求实数a的取值范围；
（3）令，试证明：．

Answer 1

解：（I）函数的定义域为R， 由于f'（x）=1﹣≥0，知
f（x）是R上的增函数．
（II）令g（x）=g（x）﹣ax³=x﹣ln（x+）﹣ax³．则
g'（x）=，
令h（x）=，则
h'（x）=，
（1）当a≥时，h'（x）≤0，从而h（x）是[0，+∞）上的减函数，
因h（0）=0，则x≥0时，h（x）≤0，也即g'（x）≤0，
进而g（x）是[0，+∞）上的减函数，
注意g（0）=0，则x≥0时，g（x）≤0，也即f（x）≤ax³，
（2）当0＜a＜时，在[0，]，h'（x）＞0，
从而x∈[0，]时，也即f（x）＞ax³，
（3）当a≤0时，h'（x）＞0，同理可知：f（x）＞ax³，
综合，实数a的取值范围[，+∞）．
（III）在（II）中取a=，则
x∈[0，]，时，x﹣ln（x+）＞x³，即 x³+ln（x+）＜x，
令x=（）²ⁿ，则
＜（）²ⁿ，
∴