【题目】已知,
.
(1)若曲线在点
处的切线的斜率为5,求
的值;
(2)若函数的最小值为
,求
的值;
(3)当时,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】试题分析:(1)本问考查导数几何意义,求导公式和导数四则运算,由题对求导得,
,则
,于是
;(2)本问考查利用导数研究函数的最值,
,当
,则
,分别讨论当
,
时,函数的单调性,从而求出最小值,令最小值等于
,求出
的值;(3)本问考查恒成立问题的解法,首先将不等式
等价转化为
,即
,所以问题转化为求函数
的最小值,利用已经得到的单调性可以求出最小值,进而求出
的范围.
试题解析:(1),
,
.
(2)函数的定义域为
,
,
令,则
,
①当,即
时,在
上,
,函数
单调递增,无最小值.
②当,即
时,在
上,
,函数
单调递减;在
上,
,函数
单调递增,所以函数
的最小值为
,解得
.
综上,若函数的最小值为
,则
.
(3)由
得,
,即
,
令,则
,
由(1)可知,当时,
在
上单调递减,在
上,
单调递增,所以在
上,
,所以
,即
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的离心率为
,以原点
为圆心,椭圆
的长半轴长为半径的圆与直线
相切.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)已知点,
为动直线
与椭圆
的两个交点,问:在
轴上是否存在定点
,使得
为定值?若存在,试求出点
的坐标和定值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知矩形的对角线交于点
,边
所在直线的方程为
,点
在边
所在的直线上.
(1)求矩形的外接圆的方程;
(2)已知直线(
),求证:直线
与矩形
的外接圆恒相交,并求出相交的弦长最短时的直线
的方程.
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【题目】定义在上的函数
满足:
对任意
、
恒成立,当
时,
.
(1)求证在
上是单调递增函数;
(2)已知,解关于
的不等式
;
(3)若,且不等式
对任意
恒成立.求实数
的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAB⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形,PA=PB,O为AB的中点,OD⊥PC.
(1)求证:OC⊥PD;
(2)若PD与平面PAB所成的角为30°,求二面角DPCB的余弦值.
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【题目】吉安一中举行了一次“环保知识竞赛”活动,为了解本了次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为分)作为样本(样本容量为
)进行统计. 按照
的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在
的数据).
(1)求样本容量和频率分布直方图中的
的值;
(2)在选取的样本中,从竞赛学生成绩是分以上(含
分)的同学中随机抽取
名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动,设
表示所抽取的
名同学中得分在
的学生人数,求
的分布列及数学期望.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知在直角坐标系中,曲线的参数方程为
(
为参数),现以原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程和直线
的直角坐标方程;
(2)在曲线上是否存在一点
,使点
到直线
的距离最小?若存在,求出距离的最小值及点
的直角坐标;若不存在,请说明理由.
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