Question

设y=f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=x（x-2），求
（1）x＜0时，f（x）的解析式；
（2）画出f（x）的图象，并由图直接写出它的单调区间．

Answer 1

解（1）当x＜0，-x＞0
则f（-x）=（-x）（-x-2）=x（x+2）
∵y=f（x）是偶函数，
∴x＜0时，f（x）=x（x+2）．
（2）由（1）中函数的解析式，我们可以画出函数的图象如下图所示：

由图象可得：
x∈（-∞，-1）和x∈（0，1）为增函数．x∈（-1，0）和x∈（1，+∞）为减函数．
分析：（1）由已知中，x≥0时，f（x）=x（x-2），我们可由x＜0时，-x＞0，代入求出f（-x），进而根据y=f（x）是偶函数，得到x＜0时，f（x）的解析式；
（2）根据分段函数分段画的原则，结合（1）中函数的解析式，我们易画出函数的图象，结合图象，我们根据从左到右图象上升，函数为增函数，图象下降，函数为减函数的原则，得到函数的单调性．
点评：本题考查的知识点是偶函数，函数解析式的求解，函数图象的作法，图象法判断函数的单调性，其中根据偶函数的性质，求出函数的解析式是解答本题的关键．