Question

在△ABC中，若sinA+sinB=sinC（cosA+cosB）．
（1）判断△ABC的形状；
（2）在上述△ABC中，若角C的对边c=1，求该三角形内切圆半径的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简得到关系式c（cosA+cosB）=a+b，再利用三角形射影定理得到a=b•cosC+c•cosB，b=c•cosA+a•cosC，表示出a+b，联立两式求出cosC的值为0，确定出C的度数为90°，即可对于三角形ABC形状为直角三角形；
（2）由c及sinC的值，利用正弦定理求出外接圆的半径R，表示出a与b，根据内切圆半径r=

1

2

（a+b-c），将a与b代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据正弦 函数的值域即可确定出r的范围．

解答：解：（1）根据正弦定理，原式可变形为：c（cosA+cosB）=a+b①，
∵根据任意三角形射影定理得：a=b•cosC+c•cosB，b=c•cosA+a•cosC，
∴a+b=c（cosA+cosB）+cosC（a+b）②，
由于a+b≠0，故由①式、②式得：cosC=0，
∴在△ABC中，∠C=90°，
则△ABC为直角三角形；
（2）∵c=1，sinC=1，∴由正弦定理得：外接圆半径R=

c

2sinC

=

1

2

，
∴

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R=1，即a=sinA，b=sinB，
∵sin（A+

π

4

）≤1，
∴内切圆半径r=

1

2

（a+b-c）=

1

2

（sinA+sinB-1）=

1

2

（sinA+sinB）-

1

2

=

2

2

sin（A+

π

4

）-

1

2

≤

2 -1

2

，
∴内切圆半径的取值范围是（0，

2 -1

2

）．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键．