Question

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈M，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数．现给出下列命题：
①函数为R上的1高调函数；
②函数f（x）=lgx为（0，+∞）上的m（m＞0）高调函数；
③函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；
④若函数f（x）=x²为[-1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围是[2，+∞）．
其中正确命题的序号是________（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

①②③④
分析：①函数为减函数，存在负实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈M，且f（x+l）≥f（x），满足高调函数定义；
②根据对数函数f（x）=lgx的图象可得对数函数为增函数，且满足高调函数定义，故f（x）=lgx为（0，+∞）上的m（m＞0）高调函数；
③由正弦函数知函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；
④函数f（x）=x²为[-1，+∞）上m高调函数，只有[-1，1]上至少需要加2．
解答：函数f（x+l）=，，
要使f（x+l）≥f（x），需要≥恒成立，只需l≤0；
即存在l使得f（x+l）≥f（x）在R恒成立，
∴函数是R上的1（l≤0）高调函数，故①正确；
∵f（x）=lgx为增函数，∴当m＞0时，lg（x+m）≥lgx，
∴函数f（x）=lgx为（0，+∞）上的m（m＞0）高调函数，故②正确；
∵sin2（x+π）≥sin2x，
∴函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数，故③正确；
∵如果定义域为[1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上m高调函数，
只有[-1，1]上至少需要加2，
那么实数m的取值范围是[2，+∞），故④正确，
综上，正确的命题序号是①②③④．
故答案为：①②③④
点评：此题属于新定义的题型，涉及的知识有：函数单调性的判断与证明，以及基本初等函数的性质，其中认真审题，弄清新定义的本质，找到判断的标准是解本题的关键．