【题目】已知函数f(x)=a1nx﹣ax+1(a∈R且a≠0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求证:(n≥2,n∈N*).
【答案】(1)当a>0时, f(x)的单调递增区间(0,1),单调递减区间(1,+∞);
当a<0时, f(x)的单调递减区间(0,1),单调递增区间(1,+∞);
(2)证明,见解析
【解析】
(1)对f(x)求导,分a>0,a<0两种情况讨论,分析函数单调性即可;
(2)令a=1,由(1)可证得lnx<x﹣1,即,叠乘可得证.
(1)∵f(x)=a1nx﹣ax+1,∴f′(x)a,
①当a>0时,
若0<x<1,则f′(x)>0,若x>1,f′(x)<0,
∴f(x)的单调递增区间(0,1),单调递减区间(1,+∞);
②当a<0时,
若0<x<1,则f′(x)<0,若x>1,f′(x)>0,
∴f(x)的单调递减区间(0,1),单调递增区间(1,+∞);
(2)令a=1,则f(x)=lnx﹣x+1,所以f(1)=0,
由(1)可知f(x)在[1,+∞)单调递减,
故f(x)≤f(1),(当x=1时取等号),
所以lnx﹣x+1<0,即lnx<x﹣1,
从而有0<lnn<n﹣1,(n≥2,n∈N*),
即(n≥2,n∈N*),
∴(n≥2,n∈N*).
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆C: 的右焦点为,离心率.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知动直线l过点F,且与椭圆C交于A,B两点,试问x轴上是否存在定点M ,使得恒成立?若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在盒子里有大小相同,仅颜色不同的乒乓球共10个,其中红球4个,白球3个,蓝球3个。
(Ⅰ)现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里,再取下一个球,重复以上操作,最多取3次,过程中如果取出蓝色球则不再取球,求:
①最多取两次就结束的概率;
②整个过程中恰好取到2个白球的概率;
(Ⅱ)若改为从中任取出一球确定颜色后不放回盒子里,再取下一个球。重复以上操作,最多取3次,过程中如果取出蓝色球则不再取球,则设取球的次数为随机变量求的分布列和数学期望,
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=﹣1.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过抛物线C的焦点作直线l,交抛物线C于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为6,求|AB|.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知某单位由50名职工,将全体职工随机按1-50编号,并且按编号顺序平均分成10组,先要从中抽取10名职工,各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样.
(1)若第五组抽出的号码为22,写出所有被抽出职工的号码;
(2)分别统计这10名职工的体重(单位:公斤),获得体重数据的茎叶图如图所示,求该样本的中位数;
(3)在(2)的条件下,从体重不低于73公斤的职工中随机抽取两名职工,求被抽到的两名职工的体重之和大于或等于154公斤的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】从某校高三上学期期末数学考试成绩中,随机抽取了名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图:
(1)根据频率分布直方图,估计该校高三学生本次数学考试的平均分;
(2)若用分层抽样的方法从分数在和的学生中共抽取人,该人中成绩在的有几人?
(3)在(2)中抽取的人中,随机抽取人,求分数在和各人的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线上一点到其焦点F的距离为5.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设直线l与抛物线C交于A、B两点,O为坐标原点,若,求证:直线l必过一定点,并求出该定点的坐标;
(3)过点的直线m与抛物线C交于不同的两点M、N,若,求直线m的斜率的取值范围.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com