Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=2，当n≥2时有 S_n=3S_n-1+2．
（1）求证{S_n+1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

解：（1）∵S_n=3S_n-1+2
∴S_n+1=3S_n-1+2+1
∴…（4分）
又∵S₁+1=a₁+1=3
∴数列{S_n+1}是以3为首项，3为公比的等比数列．…（6分）
（2）由（1）得∴，
∴…（8分）
∴…（10分）
又当n=1时，a₁=2也满足上式，…（12分）
所以，数列{a_n}的通项公式为：…（14分）
分析：（1）利用S_n=3S_n-1+2，得到S_n+1=3S_n-1+2+1，推出，即可判断数列{S_n+1}是以3为首项，3为公比的等比数列；
（2）利用（1）求出数列的前n项和公式，利用a_n=S_n-S_n-1求数列{a_n}的通项公式．
点评：本题考查数列递推关系式，等比数列的证明，定义的应用，通项公式的求法，考查计算能力．