Question

（2012•绵阳三模）已知数列{a_n}各项均为正数，S_n为其前n项和，对于n∈N^*，总有an，Sn，

a

2 n

成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项a_n；
（II）设数列{

1

an

}的前n项和为T_n，数列{T_n}的前n项和为R_n，求证：当n≥2，n∈N^*时，R_n-1=n（T_n-1）；
（III）对任意n≥2，n∈N^*，试比较

1

n

+

1

n+1

+

n

i=1

a -3 i

与2+

1

2

的大小．

Answer 1

分析：（I）由题意，an，Sn，

a

2 n

成等差数列，可得2Sn=an+an2（n∈N^*），再写一式，两式相减，整理可得a_n+1-a_n=1，即{a_n}为公差为1的等差数列，再确定数列的首项．即可求得数列{a_n}的通项a_n；
（II）Tn=1+

1

2

+…+

1

n

，当n≥2时，R_n-1=1+（1+

1

2

）+…+（1+

1

2

+…+

1

n

）=n-1+

n

2

-1+

n

n-1

-1+

n

n

-1=n（1+

1

2

+…+

1

n

）-n，即可证得结论；
（III）先证明2

k

＞

k+1

+

k-1

，再证明当k≥2时，

1

k3

＜

1

k × k2-1

＜

1

k-1

-

1

k+1

，利用叠加法，即可求得结论．

解答：（I）解：由题意，an，Sn，

a

2 n

成等差数列，∴2Sn=an+an2（n∈N^*）．
于是2Sn+1=an+1+an+12，
两式相减，得2an+1=(an+1+an+12)-(an+an2)，
即a_n+1+a_n=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n），
由题，a_n＞0，a_n+1+a_n≠0，
得a_n+1-a_n=1，即{a_n}为公差为1的等差数列．
又由2S1=a1+a12，得a₁=1或a₁=0（舍去）．
∴a_n=1+（n-1）•1=n （n∈N^*）．…（5分）
（II）证明：由（I）知

1

an

=

1

n

，于是Tn=1+

1

2

+…+

1

n

，
于是当n≥2时，R_n-1=1+（1+

1

2

）+…+（1+

1

2

+…+

1

n

）=n-1+

n

2

-1+

n

n-1

-1+

n

n

-1
=n（1+

1

2

+…+

1

n

）-n=n（T_n-1）．…（10分）
（III）解：由（I）知，

n

i=1

a -3 i

=

n

i=1

1

i3

．
∵

k

-

k-1

＞

k+1

-

k

，∴2

k

＞

k+1

+

k-1

，
当k≥2时，

1

k3

＜

1

k × k2-1

＜

2

k-1 × k+1 ( k-1 + k+1 )

=

1

k-1

-

1

k+1

，
∴

n

i=1

a -3 i

＜1+（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）=2+

2

2

-

1

n

-

1

n+1

．
即较

1

n

+

1

n+1

+

n

i=1

a -3 i

＜2+

1

2

．    …（14分）

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，解题的关键是正确放缩，属于中档题．