Question

2．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左右焦点分别为F₁，F₂，P为椭圆上任意一点．
求（1）PF₁，•PF₂的最大值（最小值）．
（2）${PF}_{1}^{2}{+PF}_{2}^{2}$的最小值．
（3）∠F₁PF₂的最大值．
（4）PF₁的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由PF₁+PF₂=4得PF₁•PF₂=PF₁（4-PF₁）=-（PF₁-2）²+4，从而求最值；
（2）化简${PF}_{1}^{2}{+PF}_{2}^{2}$=（PF₁+PF₂）²-2PF₁•PF₂=16-2PF₁•PF₂，从而求最小值；
（3）由余弦定理可得cos∠F₁PF₂=$\frac{P{{F}_{1}}^{2}+P{{F}_{2}}^{2}-{F}_{1}{{F}_{2}}^{2}}{2P{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{2}{P{F}_{1}P{F}_{2}}$-1，从而求角的最大值；
（4）PF₁的最大值为2+$\sqrt{3}$，最小值为2-$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）∵PF₁+PF₂=4，∴PF₂=4-PF₁，
∴PF₁•PF₂=PF₁（4-PF₁）
=-（PF₁-2）²+4，
∵a-c=2-$\sqrt{3}$≤PF₁≤2+$\sqrt{3}$=a+c，
∴1≤-（PF₁-2）²+4≤4，
∴PF₁•PF₂的最大值为4，最小值为1；
（2）∵${PF}_{1}^{2}{+PF}_{2}^{2}$
=（PF₁+PF₂）²-2PF₁•PF₂
=16-2PF₁•PF₂，
∵PF₁•PF₂的最大值为4，
∴${PF}_{1}^{2}{+PF}_{2}^{2}$的最小值为16-8=8；
（3）∵cos∠F₁PF₂=$\frac{P{{F}_{1}}^{2}+P{{F}_{2}}^{2}-{F}_{1}{{F}_{2}}^{2}}{2P{F}_{1}P{F}_{2}}$
=$\frac{（P{F}_{1}+P{F}_{2}）^{2}-{F}_{1}{{F}_{2}}^{2}-2P{F}_{1}P{F}_{2}}{2P{F}_{1}P{F}_{2}}$
=$\frac{2}{P{F}_{1}P{F}_{2}}$-1，
故当PF₁•PF₂取得最大值4时，
cos∠F₁PF₂有最小值-$\frac{1}{2}$，
故∠F₁PF₂的最大值为$\frac{2π}{3}$．
（4）PF₁的最大值为2+$\sqrt{3}$，最小值为2-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了椭圆的基本性质的应用及配方法的应用，同时考查了余弦定理的应用及数形结合的思想应用．