Question

已知命题p：x²-x-2≤0，命题q：x²-x-m²-m≤0．
（1）若?p为真，求x的取值范围；
（2）若?q是?p的充分不必要条件，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据?p为真，即可求x的取值范围；
（2）利用?q是?p的充分不必要条件，即转化为p是q的充分不必要条件，即可求m的取值范围．

解答：解：（1）∵p：x²-x-2≤0，∴￢p：x²-x-2＞0，解得x＞2或x＜-1，
若?p为真，则x的取值范围是x＞2或x＜-1．
（2）由x²-x-2≤0得-1≤x≤2，即p：-1≤x≤2．设A={x|-1≤x≤2}
由x²-x-m²-m≤0得（x+m）[x-（m+1）]≤0，设B={x|（x+m）[x-（m+1）]≤0}
若?q是?p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．
即p⇒q成立，但q⇒p不成立，即A?B，
①若-m=m+1，即m=-

1

2

，此时B={

1

2

}，不满足条件．
②若-m＞m+1，即m＜-

1

2

，此时B={x|m+1≤x≤-m}，要使A?B，
则

m＜- 1 2 m+1≤-1 -m≥2

，即

m＜- 1 2 m≤-2 m≤-2

，即m≤-2，当m=-2时，A=B不满足条件，
∴m＜-2．
③若-m＜m+1，即m＞-

1

2

，此时B={x|-m≤x≤m+1}，要使A?B，
则

m＞- 1 2 -m≤-1 m+1≥2

，即

m＞- 1 2 m≥1 m≥1

，即m≥1，当m=1时，A=B不满足条件，
∴m＞1．
综上m的取值范围是m＞1或m＜-2．

点评：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，以及充分条件和必要条件的应用，要注意进行分类讨论．