Question

【题目】已知椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与圆相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）若不过点的动直线与椭圆交于两点，且,试探究：直线是否过定点，若是，求该定点的坐标，若不是，请说明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线过定点.

【解析】

（1）由题意知直线的方程为， 由直线与圆相切，得进而求解方程。

（2）证法一：由知，设直线的方程为，直线的方程为.联立，整理得，求解点，点，进而表示出直线方程求解。

（1）圆的圆心为，半径

由题意知，，

直线的方程为，即，

由直线与圆相切，得，

解得，，

故椭圆的方程为.

（2）证法一：由知，从而直线与坐标轴不垂直，故可设直线的方程为，直线的方程为.

联立，整理得，

解得或，故点的坐标为，

同理，点的坐标为，

∴直线的斜率为，

∴直线的方程为，

即.

所以直线过定点.

证法二：由，知，从而直线与轴不垂直，故可设直线的方程为，

联立，整理得.

设，，则，，（*）

由得.

由，

得，

将（*）代入，得，

所以直线过定点.