Question

【题目】如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC= ，O，M分别为AB，VA的中点．

（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB
（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，

∴OM∥VB，

∵VB平面MOC，OM平面MOC，

∴VB∥平面MOC；

（2）证明：∵AC=BC，O为AB的中点，

∴OC⊥AB，

∵平面VAB⊥平面ABC，OC平面ABC，

∴OC⊥平面VAB，

∵OC平面MOC，

∴平面MOC⊥平面VAB

（3）解：在等腰直角三角形ACB中，AC=BC= ，∴AB=2，OC=1，

∴S△VAB= ，

∵OC⊥平面VAB，

∴VC﹣VAB= S△VAB= ，

∴VV﹣ABC=VC﹣VAB= ．

【解析】（1）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC；（2）证明：OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB（3）利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积．