Question

若函数f（x）满足：对于任意x₁，x₂＞0，都有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0且f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）成立，则称函数f（x）具有性质M．给出下列四个函数：①y=x³，②y=log₂（x+1），③y=2^x-1，④y=sinx．其中具有性质M的函数是

 

（注：把满足题意所有函数的序号都填上）

Answer 1

分析：根据题意依次分析命题：①②③通过做差比较f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）大于还是小于零，得出结论；④当x＞0时，根据函数y=sinx的值域是[-1，1]，得出结论即可．

解答：解：①函数y=x³，当x＞0时，y＞0
f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=x₁³+x₂³-（x₁+x₂）³=-3x₁²x₂-3x₂²x_1^＜0
∴f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂） 故①具有性质M的函数；
②当x₁，x₂＞0时，y=log₂（x+1）＞0
f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=log2

(x1+1)(x2+1)

x1+x2+1

∵x₁，x₂＞0
∴f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=log2

(x1+1)(x2+1)

x1+x2+1

＞0
即f（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂）
故②不具有性质M的函数；
③当x＞0时，y=2^x-1的值域（0，+∞）
f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=2^x₁-1+2^x₂-1-2^x₁+x₂₊1＞0 故③具有性质M的函数；
④当x＞0时，函数y=sinx的值域是[-1，1]，故不具有M的性质．
可通过作差比较得到结论．
故答案为①③．

点评：本题考查了对数函数、正弦函数、指数函数的单调性以及值域，对于比较两数大小一般采取做差比较的方法．属于基础题．