Question

若集合A={y|y²-（a²+a+1）y+a（a²+1）＞0}，B={y|y=x²-x+，0≤x≤3}
（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；
（2）当a取使不等式x²+1≥ax恒成立的最小值时，求（C_RA）∩B．

Answer 1

【答案】分析：（1）解一元二次不等式求出集合A和集合B，由A∩B=∅，可得集合的端点满足a≤2 且 a²+1≥4，由此求得实数a的取值范围．
（2）由条件判断-2≤a≤2，求出C_RA，分a²+1＜2、2≤a²+1≤4，a²+1＞4三种情况求出（C_RA）∩B．
解答：解：（1）∵集合A={y|y²-（a²+a+1）y+a（a²+1）＞0}={y|（y-a）（y-a²-1）＞0}={y|y＜a，或y＞a²+1}，
B={y|y=x²-x+，0≤x≤3}={y|y=（x-1）²+2，0≤x≤3}={y|2≤y≤4}．
A∩B=∅，
∴a≤2 且 a²+1≥4，解得≤a≤2，故实数a的取值范围为[，2]．
（2）当a取使不等式x²+1≥ax恒成立的最小值时，判别式△=a²-4≤0，
解得-2≤a≤2．
由（1）可得C_RA={y|a≤y≤a²+1 }，B={y|2≤y≤4}．
当 a²+1＜2，即-1＜a＜1时，（C_RA）∩B=∅．
当2≤a²+1≤4，即 1≤a≤ 或-≤a≤-1 时，（C_RA）∩B=[2，a²+1]．
当a²+1＞4时，即 2≥a＞ 或-2≤a＜-时，（C_RA）∩B=B=[2 4]．
点评：本题主要考查两个集合的补集、交集、并集的定义和运算，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．