Question

甲、乙两队各3名同学参加世博知识竞赛，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．假设甲队每人答对的概率均为

2

3

，乙队中3人答对的概率分别为

2

3

，

2

3

，

1

2

．且每个人回答正确与否互不影响，用ξ表示甲队的总分．
（1）求ξ的分布列及期望；
（2）记事件A“甲乙两队总分之和等于3”，事件B“甲队总分大于乙队总分”，求P（AB）．

Answer 1

分析：（1）甲队中的3名同学各自独立的回答一个问题，且答对的概率均为

2

3

，所以可以理解为进行3次独立重复试验，3名同学答题得分的所有可能为0、1、2、3，利用独立重复试验的概率公式求出ξ分别是0、1、2、3时的概率，则ξ的分布列可求，数学期望可直接利用二项分布的期望公式求解；
（2）事件A“甲乙两队总分之和等于3”，事件B“甲队总分大于乙队总分”，则事件AB所包含的情况为：“甲队得3分，乙队得0分”；“甲队得2分，乙队得1分”，两类情况为互斥事件，每一类的概率可用相互独立事件的概率求解．

解答：解：（1）甲队中的3人答题可看做3次独立重复试验．
事件A：甲队一人答题答对，
则P（A）=

2

3

，
又答对得1分，答错得0分，
∴甲队的总分ξ～（3，

2

3

），
∴P（ξ=0）=

C

0 3

(

2

3

)0•(

1

3

)3=

1

27

，P（ξ=1）=

C

1 3

(

2

3

)•(

1

3

)2=

2

9

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(

2

3

)2(

1

3

)=

4

9

，P（ξ=3）=

C

3 3

(

2

3

)3•(

1

3

)0=

8

27

．
∴分布列为

∴Eξ=3×

2

3

=2；    
（2）事件AB：甲乙两队得分之和为3分，且甲队得分大于乙队得分，
所以，事件AB包括甲队得3分，乙队得0分；甲队得2分，乙队得1分，
∵乙队中3人答对的概率分别为

2

3

，

2

3

，

1

2

，∴乙队中3人答错的概率分别为

1

3

，

1

3

，

1

2

．
∴P（AB）=

C

3 3

(

2

3

)3×

1

3

×

1

3

×

1

2

+

C

2 3

(

2

3

)2×

1

3

×[

2

3

×

1

3

×

1

2

+

2

3

×

1

3

×

1

2

+

1

3

×

1

3

×

1

2

]
=

14

243

．
所以，P（AB）=

14

243

．

点评：本题考查了n次独立重复试验恰有k次发生的概率，训练了离散型随机变量的分布列的求解，考查了二项分布的期望公式，考查了互斥事件的概率等于概率和，练习相互独立事件的概率的求法，是中档题．