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    某地有A、B、C、D四人先后感染了一种病毒，已知A是第一个感染者，B肯定是受A感染的，对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是
    1
    2
    ，同样也假定D受A、B和C感染的概率都是
    1
    3
    在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X、直接受B感染的人数Y、直接受C感染的人数Z是三个随机变量．
    （1）分别写出X、Y、Z的分布列；
    （2）求EX+EY+EZ的值．
    考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差
    专题：概率与统计
    分析：（1）因为直接受A感染的人至少是B，而C、D二人也有可能是由A感染的，所以X=1，2，3设B、C、D直接受A感染为事件B、C、D，则B、C、D是相互独立的，并且P（B）=1，P（C）=
    1
    2
    ，P（D）=
    1
    3
    ，由此能求出X、Y、Z的分布列．
    （2）由X、Y、Z的分布列，能求出EX+EY+EZ的值．
    解答： 解：（1）因为直接受A感染的人至少是B，而C、D二人也有可能是由A感染的，
    所以X=1，2，3
    设B、C、D直接受A感染为事件B、C、D，
    则B、C、D是相互独立的，
    并且P（B）=1，P（C）=
    1
    2
    ，P（D）=
    1
    3
    ，
    X=1，表明除了B外，C、D都不是由A感染的，
    ∴P（X=1）=P（
    .
    CD
    ）=P（
    .
    C
    ）P（
    .
    D
    ）=
    1
    2
    ×
    2
    3
    =
    1
    3
    ，（2分）
    X=2，表明除了B外，C、D二人中恰有1人是由A感染的，
    ∴P（X=2）=P（C
    .
    D
    +
    .
    C
    D）=P（C）=P（
    .
    D
    ）+P（
    .
    C
    ）P（D）=
    1
    2
    ×
    2
    3
    +
    1
    2
    ×
    1
    3
    =
    1
    2
    ，（4分）
    X=3，表明B、C、D都是由A感染的，
    ∴P（X=3）=P（CD）=P（C）P（D）=
    1
    2
    ×
    1
    3
    =
    1
    6
    ，（5分）
    ∴X的分布列为：
    X123
    P
    1
    3
    1
    2
    1
    6
    …（6分）
    同理，Y的分布列为：
    Y123
    P
    1
    3
    1
    2
    1
    6
    …（8分）
    Z的分布列为：
    Z01
    P
    2
    3
    1
    3
    …（10分）
    （2）EX=1×
    1
    3
    +2×
    1
    2
    +3×
    1
    6
    =
    11
    6
    ，（11分）
    EY=0×
    1
    3
    +1×
    1
    2
    +2×
    1
    6
    =
    5
    6
    ，
    EZ=0×
    2
    3
    +1×
    1
    3
    =
    1
    3
    ，
    ∴EX+EY+EZ=
    11
    6
    +
    5
    6
    +
    1
    3
    =3．（12分）
    点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题．
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    4
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    1
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    4
    3
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    2
    3
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    •
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