Question

【题目】已知是定义在上的奇函数，且.若对任意的， 都有.

（1）用函数单调性的定义证明： 在定义域上为增函数；

（2）若，求的取值范围；

（3）若不等式对所有的 和都恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）任取，作差，可证明从而可得结果；（2）根据函数的单调性，结合函数的定义域，列出关于的不等式组，解不等式组即可得结果；（3）不等式恒成立等价于，即对任意恒成立，根据一次函数的性质可得结果.

试题解析：（1）设， ,

,∴在上为增函数.

（2） 在单调递增，

.

（3）要使对任意恒成立，只要在即可，由（1）知在单调递增， ， ， 对任意恒成立，令，只要且即可， 且.

【方法点晴】本题主要考查抽象函数的定义域、抽象函数的单调性及抽象函数解不等式，属于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成 后再利用单调性和定义域列不等式组.