Question

已知函数f（θ）=2

3

sin²（

π

4

+θ）-cos2θ，设△ABC的最小内角为A，满足f（A）=2

3

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若BC边上的中线长为3，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角的余弦函数公式化简函数f（θ）解析式的第一项，再利用诱导公式化简，整理后根据两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由A为三角形的最小角，得到A的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可；
（II）根据题意画出相应的图形，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，CE，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形得到ABEC为平行四边形，可得出对边AC与BE平行，根据两直线平行同旁内角互补可得出∠ABE与∠BAC互补，由∠BAC的度数表示出∠ABE的度数，在三角形ABE中，由余弦定理得到AE²=b²+c²-2bccos∠ABE，将AE及表示出的∠ABE的度数代入，整理后再利用基本不等式变形，求出bc的最大值，然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将∠BAC的度数及bc的最大值代入即可求出面积的最大值．

解答：解：（I）f（θ）=2

3

sin²（

π

4

+θ）-cos2θ=

3

[1-cos（

π

2

+2θ）]-cos2θ
=

3

-

3

cos（

π

2

+2θ）-cos2θ=

3

sin2θ-cos2θ+

3

=2sin（2θ-

π

6

）+

3

，（4分）
∵A为△ABC的最小内角，∴A∈（0，

π

3

]，
∴2A-

π

6

∈（-

π

6

，

π

2

]，
又f（A）=2sin（2A-

π

6

）+

3

=2

3

，
∴sin（2A-

π

6

）=

3

2

，
则A=

π

4

；（7分）
（II）根据题意画出图形，如图所示：

延长AD到点E，使DE=AD=3，又AD为中线，可得BD=CD，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∴AC∥BE，BE=AC=b，
又A=

π

4

，
∴∠BAC+∠ABE=π，即∠ABE=π-∠BAC=

3π

4

，
在△ABE中，根据余弦定理得：6²=b²+c²-2bccos∠ABE=b²+c²+

2

bc，
又b²+c²≥2bc，当且仅当b=c时取等号，
∴bc≤

36

2+ 2

=18（2-

2

），（11分）
S_△ABC=

1

2

bcsin∠BAC=

2

4

bc≤9

2

-9，
则△ABC面积的最大值为9

2

-9．（14分）

点评：此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，基本不等式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．