Question

已知定义域为R的函数f（x）满足f（x）=x²+x∫₁⁰at²dt≥-1，则实数a的取值范围是

[-6，6]

．

Answer 1

分析：根据定积分的意义，求出∫₁⁰at²dt的值，再解不等式f（x）≥-1，列出关于x的不等式，利用其恒成立即可得到实数a的取值范围．

解答：解：∵∫₀¹at²dt=

1

3

at³|₀¹=

1

3

a，
x²+x∫₁⁰at²dt≥-1即x²+

1

3

xa+1≥0恒成立，
∴△=

1

9

a 2-4≤0⇒-6≤x≤6，
则实数a的取值范围是[-6，6]
故答案为[-6，6]．

点评：本小题主要考查定积分、二次函数的性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．