【题目】如图,AB是⊙O的直径,C,F为⊙O上的点,CA是∠BAF的角平分线,过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点,CM⊥AB,垂足为点M.
(1)求证:DC是⊙O的切线;
(2)求证:AMMB=DFDA.
【答案】
(1)证明:连接OC,∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA,
∵CA是∠BAF的角平分线,
∴∠OAC=∠FAC
∴∠FAC=∠OCA,
∴OC∥AD.
∵CD⊥AF,
∴CD⊥OC,即DC是⊙O的切线.
(2)证明:连接BC,在Rt△ACB中,CM⊥AB,∴CM2=AMMB.
又∵DC是⊙O的切线,∴DC2=DFDA.
∵∠MAC=∠DAC,∠D=∠AMC,AC=AC
∴△AMC≌△ADC,∴DC=CM,
∴AMMB=DFDA
【解析】(1)证明DC是⊙O的切线,就是要证明CD⊥OC,根据CD⊥AF,我们只要证明OC∥AD;(2)首先,我们可以利用射影定理得到CM2=AMMB,再利用切割线定理得到DC2=DFDA,根据证明的结论,只要证明DC=CM.
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【题目】已知等比数列{an}的公比为q(q≠1),等差数列{bn}的公差也为q,且a1+2a2=3a3 . (Ι)求q的值;
(II)若数列{bn}的首项为2,其前n项和为Tn , 当n≥2时,试比较bn与Tn的大小.
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (α为参数).以点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos(θ﹣ )=2 (Ⅰ)将直线l化为直角坐标方程;
(Ⅱ)求曲线C上的一点Q 到直线l 的距离的最大值及此时点Q的坐标.
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【题目】已知函数f(x)= (a,b∈R)在点 (2,f(2)) 处切线的斜率为﹣ ﹣ln 2,且函数过点(4, ). (Ⅰ)求a、b 的值及函数 f (x)的单调区间;
(Ⅱ)若g(x)= (k∈N*),对任意的实数x0>1,都存在实数x1 , x2满足0<x1<x2<x0 , 使得f(x0)=f(x1)=f(x2),求k 的最大值.
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【题目】已知函数f(x)= sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ+ cos( +φ)(0<φ<π),其图象上相邻两条对称轴之间的距离为π,且过点( ). (I)求ω和φ的值;
(II)求函数y=f(2x),x∈[0, ]的值域.
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【题目】若函数f(x)=x2+ex﹣ (x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是( )
A.(﹣ )
B.( )
C.( )
D.( )
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【题目】已知曲线C的参数方程为 (α为参数),以直角坐标系原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹.
(2)若直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ= ,求直线被曲线C截得的弦长.
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【题目】已知函数f(x)=lnx+ax2 , g(x)= +x+b,且直线y=﹣ 是函数f(x)的一条切线. (Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)对任意的x1∈[1, ],都存在x2∈[1,4],使得f(x1)=g(x2),求b的取值范围.
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【题目】如果对一切实数x、y,不等式 ﹣cos2x≥asinx﹣ 恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞, ]
B.[3,+∞)
C.[﹣2 ,2 ]
D.[﹣3,3]
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